Question

已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a，x∈[0，1]．（1）若a=1，求f（x）的最大值与最小值；（2）若f（x）的最大值

已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a，x∈[0，1]．（1）若a=1，求f（x）的最大值与最小值；（2）若f（x）的最大值为2，求实数a的值．

Answer 1

（1）a=1时，f（x）=-x²+2x，其图象开口向下，对称轴为x=1，在区间[0，1]上单调递增，则x=1时，f（x）取得最大值1，x=0时取得最小值0；
（2）f（x）=-x²+2ax+1-a，其图象开口向下，对称轴为x=a，
当a＜0时，函数在[0，1]上单调递减，f_max=f（0）=1-a=2，则a=-1，
当a＞1时，函数在[0，1]上单调递增，f_max=f（1）=a=2，则a=2，
当0≤a≤1时，函数在[0，1]上不单调，x=a时取得最小值，最大值为f（0）或f（1），解得a=2或a=-1，
综上，a=2或-1．