Question

已知n为正整数，二次方程x2+（2n+1）x+n2=0的两根为αn，βn，求下式的值：1(α3+1)(β3+1)+1(α4+1)(β4

已知n为正整数，二次方程x2+（2n+1）x+n2=0的两根为αn，βn，求下式的值：1(α3+1)(β3+1)+1(α4+1)(β4+1)+…+1(α20+1)(β20+1)．

Answer 1

由韦达定理，有α_n+β_n=-（2n+1），α_nβ_n=n²．
于是，对正整数n≥3，有

1 (αn+1)(βn+1) ＝ 1 αnβn+αn+βn+1 ＝ 1 n2?(2n+1)+1                      ＝ 1 n(n?2) ＝ 1 2 ( 1 n?2 ? 1 n )

∴原式=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+…+

1

2

（

1

18

-

1

20

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

19

-

1

20

）
=

531

760

．