Question

设函数f(x)可导，试证明在f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f'(x)的零点

Answer 1

证明：
构造函数g(x)=f(x)*e^x
不妨设f(x)的两个零点为a,b.
则f(a)=f(b)=0
又g(x)=f(x)*e^x
所以g(a)=g(b)=0
由Rolle,存在a<t<b,使g'(t)=0
又g'(x)=e*x[f(x)+f'(x)],且e^x不为零
故f(t)+f'(t)=0,其中a<t<b.
结论得证。

Answer 2

F(x)=e^xf(x), F(a)=F(b)=0,a b 是f的两个不同零点。由Rolle中值定理，存在c位于a b之间，使得F'(c)=0，即e^c(f'(c)+f(c))=0，于是f'(c)+f(c)=0.

Answer 3

fhd