Question

已知函数f(x)=lnx/x (1)求f(x)的单调区间（2）若关于x的不等式lnx<mx对一切x属于【a，2a】

（a>0）都成立，求m范围

Answer 1

（1）f'(x)=(1-lnx)/x²
令 1-lnx=0,得：x=e
由f'(x)>0,得：0<x<e
由f'(x)<0,得：x>e
所以f(x）增区间为(0,e)
减区间为(e,+∞)
(2)
关于x的不等式lnx<mx对一切x属于[a，2a]（a>0）都成立
即x∈[a，2a],m>lnx/x 都成立
m>f（x）(max)
当e≤a，即 a≥e时，f（x）在[a，2a]上递减
f（x）(max)=f（a）=lna/a
m>lna/a
当e≥2a,即0<a≤e/2时，f（x）在[a，2a]上递增
f（x）(max)=f（2a）=ln2a/（2a）
m>ln2a/（2a）
当 a<e<2a 即 e/2<a<e时，
f（x）(max)为 f（e）=1/e
m>1/e
综上所述：
当a≥e时,m>lna/a
当0<a≤e/2时，m>ln2a/(2a）
当a<e<2a时，m>1/e

Answer 2

(1)f"(x)=(1-lnx)/x^2
当0<x<e时 f"(x)>0函数单调递增
当x>e时 f"(x)<0函数单调递减