Question

一道极限和微积分的综合题（大学高等数学）。

若f(x)在区间(a,b)上连续,f(x)<0,证明定积分F(x)=∫（b到a）|x-t| f(t) dt 是(a,b)上的凸函数。
主要是解题过程。谢谢了~

Answer 1

F(x)=-积分（从a到b）|x-t|f(t)dt=-（积分（从a到x）(x-t)f(t)dt+积分（从x到b）(t-x)f(t)dt），求导得F'(x)=-【积分（从a到x）f(t)dt+积分（从x到b）-f(t)dt】，再求导得F''(x)=-【f(x)+f(x)】=-2f(x)>0，因此F(x)是凸函数。

追问

这道题的思路可以麻烦讲一下吗?连续说明了什么呢?这道题主要是化简定积分吗?

追答

可以这么说。或者说，就是怎么灵活运用微积分基本定理。微积分基本定理说的是连续函数的变上限积分是一个连续可微函数，并且有对应的求导公式。但现在题目给的不是变上限积分，所以你要把它化为变上限积分，一般做法都是做变量替换，把被积函数中的参变量x通过变量替换放到积分的上下限上。这道题不需要这么做，但根据被积函数的性质（就是去绝对值）所以需要把积分区间分为两部分，在每一部分上再利用微积分基本定理化简