Question

一道线性代数证明题..

求证：一个n元二次型可以分解成两个实系数1次齐次多项式的乘积当且仅当它的秩为2，且符号差为0，或者它的秩为1。

Answer 1

必要性：f(x1,...,xn)=（a1x1+...+anxn)(b1x1+...+bnxn)，若向量a＝(a1 a2 ... an)^T和b＝（b1 b2 ... bn）^T线性无关，则可将其扩充为R^n的一组基，再做变量替换y1=a1x1+...+anxn，y2=b1x1+...+bnxn，y3,...,yn由基中其余向量给出，则f＝y1×y2，此时二次型的秩为2，符号差为0。若a与b相关，则b＝ka，于是f=k(a1x1+...+anxn)^2，此时秩为1，k>0是正惯性指数为1，否则是负惯性指数为1。
充分性：秩为1时显然。秩为2且正惯性指数为1，则f的标准型为f(y)=y1^2-y2^2＝（y1+y2）（y1－y2），将y1和y2用原先的xi代入即得结论。

Answer 2

见图，三个图，完整证明

Answer 3

这个我们下学期才上丫