Question

一道极限和微积分的综合题（大学高等数学）。

若f(x)在区间(a,b)上连续,f(x)<0,证明定积分F(x)=∫（b到a）|x-t| f(t) dt 是(a,b)上的凸函数。
主要是解题过程和思路。谢谢了~

Answer 1

感觉楼主应该是有能力自己完成这个题的，所以我下面只说思路，有疑问请追问，需要我写过程也追问。
1、那个定积分应该是上限为b，下限为a吧，应该写成(a到b)，我觉得你写错了，如果真是(b到a)，就把上下限换一下，加个负号；
2、去绝对值，方法是将积分拆为两部分，∫ [a-->x]和∫ [x-->b]，前一部分x>t，后一部分x<t，这样就可以去掉绝对值了；
3、将积分拆成几个部分，把x从积分中拿到外面；
4、求二阶导数，根据二阶导数的符号判断凹凸性，这部分我想你应该没问题了。

以上为思路，如有问题请追问，如满意，请采纳。

追问

我主要是不理解为什么明明是求变量x，但是后面的式子却变成dt，是为什么呢?

追答

x是F(x)的变量，t是定积分的积分变量，积分变量只在积分中起作用，离开积分这个变量就不存在了，因此本题真正的变量是x，而当我们在做定积分的时候，由于t是积分变量，因此x是一个与t无关的量，所以在定积分中，它相当于一个常数。

Answer 2

解：∵F(x)=∫<a,b>│x-t│f(t)dt
=∫<a,x>(x-t)f(t)dt-∫<x,b>(x-t)f(t)dt
=∫<a,x>(x-t)f(t)dt+∫<b,x>(x-t)f(t)dt
∴根据含参变量积分求导数定理，得
F'(x)=∫<a,x>f(t)dt+∫<b,x>f(t)dt
F''(x)=f(x)+f(x)=2f(x)<0 (∵f(x)<0)
故根据凹凸函数判定定理，知函数F(x)=∫<a,b>│x-t│f(t)dt在(a,b)上是凸函数。

Answer 3

这是一道十分类似的题