Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G。

（1）DF∥BC （2）FG=FE

Answer 1

（1）、（2）：因为AF平分∠CAB所以∠CAF=∠DAF
又因为AD=AC,AF=AF,所以三角形CAF与三角形DAF全等（SAS）
所以∠ACE=∠ADG（全等三角形对应角相等）
又因为∠ACE=∠B
所以∠ADF=∠B 所以DF平行BC
（3）：因为三角形CAF与三角形DAF全等，所以CF=CD（全等三角形对应边相等）
因为∠ACE=∠ADF，∠GFC=∠EFD（全等三角形对应角相等）
所以△GFC与△EFD全等
所以FG=FE（全等三角形对应边相等）

Answer 2

第一个问题：
∵AD＝AC、AF＝AF、∠DAF＝∠CAF，∴△DAF≌△CAF，∴∠ADG＝∠ACE。
∵CE⊥AE，∴∠ACE是∠BAC的余角，∴∠ADG也是∠BAC的余角，∴∠AGD＝90°。
由∠AGD＝∠ACB＝90°，得：DF∥BC。

第二个问题：
∵F在∠EAG的平分线上，又FE⊥AE、FG⊥AG，∴FG＝FE。

Answer 3

（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵AC=AD∠CAF=∠DAFAF=AF​，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF=∠ADF．
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90°，
∴∠ACF=∠B，
∴∠ADF=∠B．
∴DF∥BC．

②证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG=FE．

Answer 4

第一个问题：
∵AD＝AC、AF＝AF、∠DAF＝∠CAF，∴△DAF≌△CAF，∴∠ADG＝∠ACE。
∵CE⊥AE，∴∠ACE是∠BAC的余角，∴∠ADG也是∠BAC的余角，∴∠AGD＝90°。
由∠AGD＝∠ACB＝90°，得：DF∥BC。

第二个问题：
∵F在∠EAG的平分线上，又FE⊥AE、FG⊥AG，∴FG＝FE。

Answer 5

（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵
AC=AD∠CAF=∠DAFAF=AF
，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF=∠ADF．
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90°，
∴∠ACF=∠B，
∴∠ADF=∠B．
∴DF∥BC．
②证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG=FE．