Question

一次函数y=根号3/3+2的图像与x轴、y轴分别交与点A、B两点，以AB为边在第二象限内作△ABC。

（1)求C的坐标。
（2）在第二象限内有一点M（m，1），使S△ABM=S△ABC，求M点坐标。
（3）在直线AB上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

你可能是忙中出错了！①题目中的直线y＝（√3/3）x＋2少写了自变量x；②图的位置稍有误差。
第一个问题：
∵AB的方程是y＝（√3/3）x＋2，∴∠BAO＝30°。
∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB、∠BAC＝60°。
由∠BAO＝30°、∠BAC＝60°，得：∠CAO＝∠BAO＋∠BAC＝30°＋60°＝90°。

y＝（√3/3）x＋2的纵截距为2，得：B的坐标是（0，2）；
令y＝（√3/3）x＋2中的y＝0，得：x＝－2√3，∴A的坐标分别是（－2√3，0）。
∴BO＝2，∴AB＝2BO＝4，∴AC＝4，∴C的坐标是（－2√3，4）。

第二个问题：
∵△ABM、△ABC是同底三角形，又面积相等，∴△ABM、△ABC必为等高三角形，
∴CM∥AB，∴CM的斜率＝AB的斜率＝√3/3，∴（4－1）/（－2√3－m）＝√3/3，
∴－2－√3m＝9，∴m＝－11/√3＝－11√3/3。
∴点M的坐标是（－11√3/3，1）。

第三个问题：
点P是存在的，且有三种情况：①使得AP＝AO；②使得AP＝PO；③使得AO＝PO。
∵点P在直线y＝（√3/3）x＋2上，∴可令点P的坐标为（n，√3n/3＋2）。

一、情况①时：
　　∵AP＝AO＝2√3，∴√［（n＋2√3）^2＋（√3n/3＋2）^2］＝2√3，
　　∴（n＋2√3）^2＋（√3n/3＋2）^2＝12，
　　∴n^2＋4√3n＋12＋n^2/3＋4√3n/3＋4＝12，
　　∴n^2＋4√3n＋3＝0，
　　∴n1＝［－4√3＋√（16×3－4×3）］/2＝－2√3＋√（12－3）＝3－2√3，
　　　n2＝－3－2√3。
　　由n＝3－2√3，得：√3n/3＋2＝（3√3－6）/3＋2＝√3。
　　由n＝－3－2√3，得：√3n/3＋2＝（－3√3－6）/3＋2＝－√3。
　　∴此时P的坐标是（3－2√3，√3），或（－3－2√3，－√3）。

二、情况②时：
　　∵AP＝PO，∴点P在AO的垂直平分线上，而AO的中点是（－√3，0），
　　令y＝（√3/3）x＋2中的x＝－√3，得：y＝－1＋2＝1。
　　∴此时P的坐标是（－√3，1）。

三、情况③时：在x轴的正半轴上任取一点D。
　　∵AO＝PO，∴∠PAO＝∠APO，∴∠POD＝∠PAO＋∠APO＝2∠BAO＝60°，
　　∴OP的斜率＝tan60°＝√3，∴OP的方程是y＝√3x。
　　联立：y＝（√3/3）x＋2、y＝√3x，消去y，得：√3x＝（√3/3）x＋2，
　　∴3√3x＝√3x＋6，∴2√3x＝6，∴x＝√3，进而得：y＝3。
　　∴此时P的坐标是（√3，3）。

综上一、二、三所述，得：满足条件的点P的坐标有4个，分别是：
（3－2√3，√3）、（－3－2√3，－√3）、（－√3，1）、（√3，3）。

Answer 2

题目没错啊。。。。。