Question

如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是CD的中点。

1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点．
（1）作点P，使它与点O关于点E成中心对称，连接CP、DP；
（2）若四边形ABCD是矩形，试判断（1）中所得四边形CODP的形状并说明理由；
（3）若（1）中所得四边形CODP是正方形，请用图中的字母和符号表示四边形ABCD应满足的条件：

Answer 1

若四边形ABCD是矩形，那么四边形CODP是菱形
理由如下：
因为四边形ABCD是矩形，点E是CD的中点
所以OE垂直CD
又因为P是O关于点E成中心对称的点
所以点O，E，P在同一直线上，且OE=PE
在三角形ODE和PCE中
因为DE=CE，∠OED=∠PEC,OE=PE
所以三角形ODE和三角形PCE全等（SAS）
所以OD=PC，∠ODE=∠PCE
即OD=PC且OD//PC
所以四边形CODP是平行四边形。
又因为OD=OC
所以四边形CODP是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）
（3）要使四边形CODP是正方形，四边形ABCD必须是正方形了
因为四边形ABCD是矩形可以知道四边形CODP是菱形
现在又要使四边形CODP是正方形，必须满足CD=OP
而OP＝BC
所以CD＝BC
所以四边形ABCD是正方形（邻边相等的矩形是正方形）

Answer 2

解（1）连接OE并延长OE至点P,使OE=EP,则点P就是所作的点P.
（2）若四边形ABCD是矩形，则（1）中所得四边形CDOP是平行四边形
因为：O、E分别是中点，所以OP平行且等于CD
所以CDOP是平行四边形。
3）若（1）中所得四边形CDOP是正方形，四边形ABCD应满足的条件是BD垂直DC。且其对角线的焦点O是对角线BD的中点。

Answer 3

取ad的中点g，连接eg、fg
根据三角形中位线定理，可得：
eg
=
bd/2
fg
=
ac/2
且：eg//bd
fg//ac
因为，ac
=bd
所以，eg
=
fg
所以，∠gef
=
∠gfe
∵∠gef
=
∠omn
∠gfe
=
∠onm
∴∠omn
=
∠onm
故：om
=
on