Question

数学高手来下

如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

Answer 1

与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）：
0 = a+4+c
-5=0-0+c
a=1，c=-5
y=x2-4x-5

对称轴x=-(-4)/(2*1)=2
P在对称轴上，AB一定，PA+PB最小时三角形PAB周长最小
做A关于对称轴对称点A'，(x-1)/2=2，x=5，A'(5，0)
连接A'B，A'B所在直线：y/(x-5)=(y+5)/2
将x=2代入得：y/(2-5)=(y+5)/2,5y=-15，y=3
故P点坐标（2，-3)

Answer 2

（1）列方程组
a+4+c=0
c=-5
解得a=1 c=-5
y=x^2-4x-5
（2）对称轴x=2
B关于对称轴对称点M（4，-5）
AM解析式y=-x-1
当x=2时，y=-3
P（2,-3）

Answer 3

（1）代入得c=-5,a=1
（2）对称轴x=2，BA一定，即求AP+BP的最小值
取A1（5，0）连BA1
BA1：y＝x－5
x＝2于点P（2，－3）