Question

如图，△ABC是边长3cm的等边三角形

22、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．

Answer 1

（1）PB=CQ，即3-t=t，解出t=1.5。
（2）四边形的面积y与△ABC、△PBQ之间关系：y=S△ABC-S△PBQ，即y=(3/16)^0.5×(t^2-3t+9)；dy/dt=0，解出t=1.5，即此时四边形有面积极小值，其值为△ABC的3/4＞2/3，因此不可能存在t使y为△ABC面积的2/3。
（3）在直角坐标系建立△ABC，建立并解出PQ长x与P、Q点移动时间t的关系：x=(3t^2-9t+9)^0.5；联立（2）、（3）中y、x、t关系，建立y与x之间的关系式：（作u=(4x^2-9)/12代换），y=(3/16)^0.5×(u^2+1.5u+27/4)。

Answer 2

（1）PB=1/2CQ或1/2PB=CQ，即1/2(3-t)=t或1/2t=3-t，解出t=1或t=2。
（2）四边形的面积y与△ABC、△PBQ之间关系：y=S△ABC-S△PBQ，即y=(3/16)^0.5×(t^2-3t+9)；dy/dt=0，解出t=1.5，即此时四边形有面积极小值，其值为△ABC的3/4＞2/3，因此不可能存在t使y为△ABC面积的2/3。
（3）在直角坐标系建立△ABC，建立并解出PQ长x与P、Q点移动时间t的关系：x=(3t^2-9t+9)^0.5；联立（2）、（3）中y、x、t关系，建立y与x之间的关系式：（作u=(4x^2-9)/12代换），y=(根号3/12)x^2+3*(根号3/2)