Question

三角形的三条中线相等，能证明这是等边三角形吗

Answer 1

【三条中线相等的三角形是等边三角形】
设AD、BE、CF是△ABC的中线，且AD=BE=CF，求证：△ABC是等边三角形。
证明：
作FM⊥BC于M，EN⊥BC于N，连接EF。
则∠ENB=∠FMC=90°
∵BE、CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//BC，
∴EN=FM（平行线间的距离相等）
在Rt△ENB和Rt△FMC中，
EN=FM，BE=CF
∴Rt△ENB≌Rt△FMC（HL）
∴∠EBN=∠FCM
又∵BE=CF，BC=CB
∴△EBC≌△FCB（SAS）
∴∠ECB=∠FBC
∴AB=AC
同理：连接DE，则DE//AB，
∵AD=BE，
∴△ABE≌△BAD（同上，略）
∴∠BAE=∠ABD
∴AC=BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形。