Question

如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC

如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由

Answer 1

（1）相等，对称
（2）相等，垂直
AC⊥l, AC//EF,EF=FP∴∠CPQ=45°∴QC=PC∵AC=EF=BC∴⊿ACP≌⊿BCQ﹙HL﹚
∴AP=BQ
延长BQ交AP于M
∵⊿ACP≌⊿BCQ∴∠CBQ=∠CAP=∠PBQ ∵∠BQC=∠AQM∴∠BCQ=∠AMQ=90°
∴AP⊥BQ
(3)成立
∵AQ⊥l,EF⊥l,EF=EP∴∠QPC=45°∴PC=QC∵BC=AC,∠QCB=∠PCA=90°
∴⊿QCB≌⊿PCA ∴QB=PA, ∠CQB=∠CQA
BQ交AP于M
∵∠MAC=∠QAB∴∠QMA=∠ PCA=90° ∴ AP⊥BQ
其实做法差不多，关键还是找对边角关系

Answer 2

解：（1）猜想：BQ=AP．
证明：由题意可知EF⊥FP，又EF=FP，
所以∠EPF=45°，
所以QC=CP，又∠BCQ=∠ACP=90°，AC=BC，
所以△BCQ≌△ACP，
得出BQ=AP；

（2）BQ=AP．
证明：∵∠EPF=45°，AC⊥CP，∴CQ=CP，
又BC=AC，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴BQ=AP；

(3)∵AQ⊥l,EF⊥l,EF=EP∴∠QPC=45°∴PC=QC∵BC=AC,∠QCB=∠PCA=90°
∴⊿QCB≌⊿PCA ∴QB=PA, ∠CQB=∠CQA
BQ交AP于M
∵∠MAC=∠QAB∴∠QMA=∠ PCA=90° ∴ AP⊥BQ

Answer 3

解：（1）AB=AP；AB⊥AP；

（2）BQ=AP；BQ⊥AP．
证明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，
∴∠EPF=45°．
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°．
∴CQ=CP．
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴BQ=AP．
②如图，延长BQ交AP于点M．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠1=∠2．
在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．
∴∠QMA=90°．
∴BQ⊥AP；

（3）成立．
证明：①如图，∵∠EPF=45°，
∴∠CPQ=45°．
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°．
∴CQ=CP．
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．
∴BQ=AP．
②如图，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQC=∠APC．
在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，
∴∠APC+∠PBN=90°．
∴∠PNB=90°．
∴QB⊥AP．

Answer 4

解：（1）AB=AP；AB⊥AP；

（2）BQ=AP；BQ⊥AP．
证明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，
∴∠EPF=45°．
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°．
∴CQ=CP．
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴BQ=AP．
②如图，延长BQ交AP于点M．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠1=∠2．
在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．
∴∠QMA=90°．
∴BQ⊥AP；

（3）成立．
证明：①如图，∵∠EPF=45°，
∴∠CPQ=45°．
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°．
∴CQ=CP．
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．
∴BQ=AP．
②如图，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQC=∠APC．
在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，
∴∠APC+∠PBN=90°．
∴∠PNB=90°．
∴QB⊥AP．

Answer 5

（1）相等，对称
（2）相等，垂直
AC⊥l, AC//EF,EF=FP∴∠CPQ=45°∴QC=PC∵AC=EF=BC∴⊿ACP≌⊿BCQ﹙HL﹚
∴AP=BQ
延长BQ交AP于M
∵⊿ACP≌⊿BCQ∴∠CBQ=∠CAP=∠PBQ ∵∠BQC=∠AQM∴∠BCQ=∠AMQ=90°
∴AP⊥BQ
(3)成立
∵AQ⊥l,EF⊥l,EF=EP∴∠QPC=45°∴PC=QC∵BC=AC,∠QCB=∠PCA=90°
∴⊿QCB≌⊿PCA ∴QB=PA, ∠CQB=∠CQA
BQ交AP于M
∵∠MAC=∠QAB∴∠QMA=∠ PCA=90° ∴ AP⊥BQ
其实做法差不多，关键还是找对边角关系