Question

已知函数f(x)=根号3sin(wx+fai)-cos(wx+fai)(0<fai<π,w>0)为偶数,

且函数y=f（x）图像的两相邻对称轴间的距离为π/2 。 （1）求f(π/8)的值 （2）将函数y=f(x)的图像向右平移π/6个单位后，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)的单调递增区间

Answer 1

解：(1).f(x)=(√3)sin(ωx+φ)-cos(wx+φ)=2[(√3/2)sin(ωx+φ)-(1/2)cos(ωx+φ)]=2[sin(ωx+φ)cos(π/6)-cos(ωx+φ)sin(π/6)]=2sin(ωx+φ-π/6)∵f(x)是偶函数，∴φ-π/3=π/2，即φ=π/3+π/3=5π/6，于是f(x)=2sin(ωx+π/2)=2cosωx.又∵函数y=f（x）图像的两相邻对称轴间的距离为π/2，∴其最小正周期为π，故ω=2.即f(x)=2cos2x，f(π/8)=2cos(π/4)=√2.(2)g(x)=2cos[2(x-π/6)]=2cos(2x-π/3).由2kπ<2x-π/3<2kπ+π，2kπ+π/3<2x<2kπ+4π/3，得单减区间kπ+π/6<x<kπ+2π/3，k∈Z

Answer 2

两个相邻对称轴之间是半个周期，t/2=π/2
t=π，ω=2
且f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)
f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+π/6)
f(-x)=2sin(-2x+φ+π/6)=-2sin(2x-φ-π/6)
即2sin(2x+φ+π/6)=-2sin(2x-φ-π/6)
2sin2xcos(φ+π/6)+2cos2xsin(φ+π/6)=-2sin2xcos(φ+π/6)+2cos2xsin(φ+π/6)
2sin2xcos(φ+π/6)=-2sin2xcos(φ+π/6)
4sin2xcos(φ+π/6)=0
所以cos(φ+π/6)=0
φ=π/3

Answer 3

已知函数f(x)=(√3)sin(ωx+φ)-cos(wx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶数,且函数y=f（x）图像的两相邻对称轴间的距离为π/2 。 （1）求f(π/8)的值 （2）将函数y=f(x)的图像向右平移π/6个单位后，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)的单调递增区间
解：(1).f(x)=(√3)sin(ωx+φ)-cos(wx+φ)=2[(√3/2)sin(ωx+φ)-(1/2)cos(ωx+φ)]
=2[sin(ωx+φ)cos(π/6)-cos(ωx+φ)sin(π/6)]=2sin(ωx+φ-π/6)
∵f(x)是偶函数，∴φ-π/3=π/2，即φ=π/3+π/3=5π/6，于是f(x)=2sin(ωx+π/2)=2cosωx.
又∵函数y=f（x）图像的两相邻对称轴间的距离为π/2，∴其最小正周期为π，故ω=2.
即f(x)=2cos2x，f(π/8)=2cos(π/4)=√2.
(2)g(x)=2cos[2(x-π/6)]=2cos(2x-π/3).
由2kπ<2x-π/3<2kπ+π，2kπ+π/3<2x<2kπ+4π/3，得单减区间kπ+π/6<x<kπ+2π/3，k∈Z