Question

有一道数学题不会…希望各位解释一下…谢谢… 题目：己知∠1=∠2=∠3,求证AP²＋CE²=

有一道数学题不会…希望各位解释一下…谢谢…

题目：己知∠1=∠2=∠3,求证AP²＋CE²=AC²＋PE²=AE²＋CP²。

Answer 1

只要证明E是三角形APC的垂心就行了，过点A作PD的平行线AM，过点P作AB的平行线PN，AM与PN交于点G，则四边形AGPE是平行四边形，即，AE=PG，AG=PE，且AG⊥AC，PG⊥PC

则有：

CG*CG＝AC*AC＋AG*AG＝AC*AC＋PE*PE

CG*CG=PC*PC+PG*PG=PC*PC+AE*AE

即，AC*AC+PE*PE=PC*PC+AE*AE

同理可证：AC*AC+PE*PE=AP*AP+CE*CE

下面给出点E是三角形APC的垂心的证明：

∠1=∠3，A、C、B、F四点共圆，

所以，∠ABF=∠ACF

∠2=∠3，D、C、B、E四点共圆，

所以，∠ACF=∠ABD

所以，∠ABF=∠ABD

∠1=∠2，A、D、B、P四点共圆，

所以，∠APD=∠ABD=∠ABF

所以，E、B、P、F四点共圆，

即，∠EBP+∠EFP=180°......................................(1)

∠1=∠3，且共用∠CPA，

△ABP∽△CFP,

所以，∠EBP=∠EFP................................................(2)

综合(1)、(2)可知，

∠EBP=∠EFP=90°

所以，点E是三角形ACP的垂心。

Answer 2

第一步，证明：点E是△PAC的垂心。
∵∠1＝∠2，∴P、A、D、B共圆，∴∠PBA＝∠PDA。······①
∵∠2＝∠3，∴B、C、D、E共圆，∴∠ABC＝∠PDA、∠PDC＝∠PBA。······②
由①、②，得：∠ABC＝∠PDC。
∵B、C、D、E共圆，∴∠ABC＋∠PDC＝180°，又∠ABC＝∠PDC，
∴∠ABC＝∠PDC＝90°，∴E是△PAC的垂心。

第二步，证明：AP^2＋CE^2＝AE^2＋CP^2。
以AE、CE为邻边作平行四边形AECF，则有：AF＝CE、CF＝AE，AF∥CE、CF∥AE。
∵CE⊥AP、AE⊥CP，又AF∥CE、CF∥AE，∴AF⊥AP、CF⊥CP，
∴由勾股定理，有：AP^2＋AF^2＝CP^2＋CF^2＝PF^2，而AF＝CE、CF＝AE，
∴AP^2＋CE^2＝AE^2＋CP^2。······③

第三步，证明：AC^2＋PE^2＝AE^2＋CP^2。
以AE、PE为邻边作平行四边形AEPG，则有：AG＝PE、PG＝AE，AG∥PE、PG∥AE。
∵PE⊥AC、AE⊥CP，AG∥PE、PG∥AE，∴AG⊥AC、PG⊥CP，
∴由勾股定理，有：AC^2＋AG^2＝PG^2＋CP^2，而AG＝PE、PG＝AE，
∴AC^2＋PE^2＝AE^2＋CP^2。······④

由③、④，得：AP^2＋CE^2＝AC^2＋PE^2＝AE^2＋CP^2。

Answer 3

这要用高中的余弦定理才能证明 你们初中弄这玩意过头了，即使给你答案也看不懂。

追问

这是一个高一朋友给我的…他说重温经典,就给我这道题了,想了很久也没有想出来.他脾气古怪,不肯给我答案,所以就………

Answer 4

。。。。。几年的

追问

初二的…

追答

哦哦

等会

Answer 5

利用转化的思想

追问

转化哪个？