Question

a+b与a-b的夹角为

已知|a|=1,|b|=根号3,a+b=(根号3，1),则a+b与a-b的夹角为
要过程

Answer 1

设a+b与a-b的夹角为Q
因为a+b=（√3，1）
所以|a+b|=√(a^2+2*a*b+b^2)
=√(1+2*a*b+3)
=√(4+2*a*b)=√(√3)^2+1^2)
所以 4+2*a*b=3+1
2*a*b=0
cosQ=(a+b)*(a-b)/|a+b|*|a-b|
=(|a|^2-|b|^2)/[√(√3)^2+1^2)*√(a^2-2*a*b+b^2)]
=(1-3)/[√(3+1)*√(1-0+3)
=(-2)/4
=-1/2
所以Q=arccos(-1/2)
=π-arccos(1/2)
=π-π/3
=(2/3)π
=120°

Answer 2

用几何法。
a，b，a+b，a-b构成以a，b为邻边，a+b，a-b为对角线的平行四边形。
设OA=a，OB=b，OC=a+b，则|OA|=1，|AC|=|OB|=√3，|OC|=2，BA=a-b
由于 1²+(√3)²=2²，从而 ⊿OAC是直角三角形，A为直角，
所以OACB为矩形。且易得∠ABO=30°
设OC与BA的交点为M，则易知 ∠AMC=120°，而∠AMC和向量BA与OC的夹角相等，
从而 a+b与a-b的夹角为120°

Answer 3

|a+b|^2=(a+b,a+b)=|a|^2+2(a,b)+|b|^2=4 (4=1^2+(根号3)^2)
1+3+2(a,b)=4
所以(a,b)=0
所以(a+b,a-b)=a^2-b^2=1-3=-2
|a+b|=2, |a-b|^2=|a|^2-2(a,b)+|b|^2=|a|^2+|b|^2=4
|a-b|=2
所以
cos t=(a+b,a-b)/(|a+b||a-b|)=-2/4=-1/2
所以t=2pi/3

Answer 4

（a-b）·（a+b）=|a-b|·|a+b|·cosβ

（a+b）=（√3，1）=2
|a+b|=√（√3 ²+1²）=2
|a|²=a²=1
|b|²=b²=3
∴（a+b）（a-b）=a²-b²=-2
∴（a-b）=-1
∴|a-b|=1

cosθ=[（a+b）·（a-b）]/|a+b|·|a-b|=-2/2=-1
∵θ∈[0，π]
∴θ=π