Question

求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的内接矩形的面积及周长的最大值 不用参数方程解 怎么解 谢谢 帮帮忙

Answer 1

1)设1个顶点为（m,n）
m^2/a^2+n^2/b^2=1
由基本不等式m^2/a^2+n^2/b^2>=2mn/ab 可得mn<=ab/2
S=4mn<=2ab

2)周长不用参数方程有些麻烦
设第一象限顶点(x,y)
周长为4（x+y）
即x+y最大时周长最大
设x+y=m y=-x+m
m最大即y=-x+m截距最大，数形结合可知直线y=-x+m与椭圆相切时截距最大
直线和椭圆联立：(a^2+b^2)x^2-2ma^2*x+a^2(m^2-b^2)=0
由相切△=0得m=√(a^2+b^2)
所以周长最大4√(a^2+b^2)

Answer 2

x^2/a^2+y^2/b^2=1
x^2=a^2-a^2y^2/b^2
x^2y^2=a^2y^2-a^2y^4/b^2
= -(ay^2/b-ab/2)^2 + (ab)^2/4
ay^2/b=ab/2时， y^2=b^2/2 y=±√2b/2
x^2y^2最大,S最大=4xy=2ab

x=acosu
y=bsinu
x+y=acosu+bsinu=√(a^2+b^2)sin(u+v) sinv=a/√(a^2+b^2),cosv=b/√(a^2+b^2)
(x+y)最大=√(a^2+b^2)
周长最大=4*(x+y)最大=4√(a^2+b^2)