Question

数学天才求解

Answer 1

引入复数m＝x＋2i、n＝6－x＋3i，则：
√（x^2＋4）＋√［（6－x）^2＋9］
＝｜m｜＋｜n｜
≧｜m＋n｜
＝｜（x＋2i）＋（6－x＋3i）｜
＝｜6＋5i｜
＝√（6^2＋5^2）
＝9，
∴√（x^2＋4）＋√［（6－x）^2＋9］的最小值是9。

追问

m和n是什么

追答

m、n是两个复数。√（5^2＋6^2）＝√61，而不是9，特此更正！

下面另法求之。
作Rt△ABC，使AB⊥BC，且BC＝3、AB＝6－x，
则有：AC＝√［（6－x）^2＋9］。

过A作AE∥CB且AE＝2，使C、E在AB的两侧；
再过E作ED∥BA且DE＝x，使D、B在AE的两侧，
则有：AD＝√（x^2＋4）。

延长CB、DE相交于F，容易证得：ABFE是矩形，
∴CF⊥DF、CF＝5、DF＝6。
明显有：
AC＋AD≧CD＝√（CF^2＋DF^2）＝√（5^2＋6^2）＝√61。
∴AC＋AD的最小值为√61，
即：√（x^2＋4）＋√［（6－x）^2＋9］的最小值为√61。

Answer 2

这是常规的题目。令表达式为f(x)，其导数为g(x)，则
g(x)=[x(x^2-12x+45)^0.5-(6-x)(x^2+4)]/[(x^2-12x+45)(x^2+4)]^0.5
从g(x)的表达式可知，f(x)的驻值点只可能在0<x<6内。在x<0，f(x)严格单调减少，而在x>6，f(x)严格单调增加。令g(x)=0，可得驻值点x=2.4，对应的值为7.81。显然f(x)的最小值只可能在x=0，x=2.4，x=6上达到，f(0)=8.71，f(6)=9.32，因此f(x)的最小值为7.81。

Answer 3