(1)
A(-5, 0), C(0, 5), B(1, 0)
y = -(x + 5)(x - 1) = -x² -4x + 5(2)
D(-2, 9)
(3)
AC: x/(-5) + y/5 = 1, y = x + 5
设想将AC向左上方平移，直至与抛物线相切，切点即为P。
令过P的切线为y = x + t
y = x + t = -x² -4x + 5
x² +5x + t - 5 = 0
x = -5/2时，上述方程二根相同，P(-5/2, 35/4)
从P向x轴作垂线，垂足P'(-5/2, 0)
三角形ACP的面积 = 三角形AP'P的面积 + 梯形P'PCO的面积 - 三角形ACO的面积
= (1/2)*AP'*P'P + (1/2)(P'P + OC)*P'O - (1/2)*AO*OC
= (1/2)*(5/2)*(35/4) + (1/2)(35/4 + 5)*(5/2) - (1/2)*5*5
= 125/8
(4)
显然，P与AC的距离与D与AC的距离相等。有两种可能：
(a) PD与AC平行
令PD为y = x + t
过D(-2, 9), 可得t = 11, y = x + 11
y = x + 11 = -x² -4x + 5, x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0
x = -3, P(-3, 8) (x = -2为点D，舍去)
(b) P在AC下方，且过P的直线(称l, 在y轴上的截距为p)与AC平行，此时有两个交点。
(a)中PD在y轴上的截距为11， C(0, 5)的纵坐标5 = (11 + p)/2, p = -1
l: y = x - 1
与抛物线联立，得P(1, 0), P(-6, -7)
(5)
P(m, n), n = -(m + 5)(m - 1)
令对称轴与x轴交于D'(2, 0)
三角形PDM的面积S1 = (1/2)*MP*(P的横坐标 - D的横坐标) = (1/2)*n(m + 2)
三角形PDA的面积S2 = 三角形AD'D的面积 + 梯形D'DPM的面积 - 三角形APM的面积
= (1/2)*AD'*D'D + (1/2)*(D'D + MP)*D'M - (1/2)*AM*MP
= (1/2)*3*9 + *(1/2)*(9 + n)*(m + 2) - (1/2)*(m + 5)*n
= (1/2)(45 + 9m - 3n)
S1 = (2/3)S2
(1/2)*n(m + 2) = (2/3)*(1/2)(45 + 9m - 3n)
n(m + 2) = 2(15 + 3m - n)
n(m + 4) - 6(m + 5) = 0
-(m + 5)(m - 1)(m + 4) - 6(m + 5) = 0
(m + 5)(m + 1)(m + 2) = 0
m = -1, P(-1, 8)
m = -5和m = -2不在所给范围内，舍去。
练习
以AC为底时，二者的高均为B与AC的距离，所以只需P将AC分为1:4的两段即可。从P向x轴作垂线，垂足P'(p, 0); 按三角形的性质, AP' : P'O = 1 : 4或 AP' : P'O = 4 : 1
前者得p = -4, P(-4, 1)
后者的p = -1, P(-1, 4)
