Question

求函数f(x，y，z)=xyz在约束条件，x2+2y2+3z2=6下的极值 （xyz后边的2代表

方）

Answer 1

高数题目，用拉格朗日剩数法；但也可用初等数学简单解决。

1＝x^2+y^2+z^2。

＝x^2/1+(-2y)^2/4+(2z)^2/4。

≥（x-2y+2z)^2/(1+4+4)。

→（x-2y+2z)^2≤9。

→－3≤x-2y+2z≤3。

∴－3≤f(x,yz)≤3。

所求最大值为：f(x,y,z)|max＝3。

所求最小值为：f(x,y,z)|min＝－3。

函数

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

Answer 2

x²+2y²+3z²=6
³√(6x²y²z²)≤(x²+2y²+3z²)/3=2 (算术平均数大于等于几何平均数)
6x²y²z²≤8
|xyz|≤2√3/3
-2√3/3≤xyz≤2√3/3
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f(x,y,z)=xyz=±yz√(6-2y²-3z²)
∂f/∂y=±[z√(6-2y²-3z²)-2y²z/√(6-2y²-3z²)
∂f/∂z=±[y√(6-2y²-3z²)-3yz²/√(6-2y²-3z²)
∴∂f/∂y=0→z=0,6=4y²+3z²
∂f/∂z=0→y=0,3=3z²+y²
驻点：(0,0)、( ±1,±√2/3 )
∂²f/∂²y=±{-2zy/√(6-2y²-3z²)-[4yz√(6-2y²-3z²)+4y³z·/√(6-2y²-3z²)]/(6-2y²-3z²)}
∂²f/∂y∂z=±{√(6-2y²-3z²)-3z²/√(6-2y²-3z²)-[2y²√(6-2y²-3z²)+6y²z²/√(6-2y²-3z²)]/(6-2y²-3z²)}
∂²f/∂²z=±[-3yz/√(6-2y²-3z²)-[6yz√(6-2y²-3z²)+9yz³·/√(6-2y²-3z²)]/(6-2y²-3z²)}
∂²f/∂y∂z=±{√(6-2y²-3z²)-2y²/√(6-2y²-3z²)-[3z²√(6-2y²-3z²)+6y²z²/√(6-2y²-3z²)]/(6-2y²-3z²)}
经判断(0,0)不是极值点
f(x,y,z)极值=±2√3/3