Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两

（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

本题是二次函数综合题，涉及到的知识点较多，较有难度，考察待定系数法，两点间的距离以及不规则图形的面积 解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）

∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)

∴ 二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)
代入 解得：b=-2 c=-3　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　

（2）∵直线AB经过点A（-1，0）B(4,5)

∴直线AB的解析式为：y=x+1

∵二次函数y=x^2-2x-3

∴设点E(t， t+1),则F（t，t^2-2t-3）

∴EF= (t+1)+It^2-2t-3I

　=t+1-(t^2-2t-3)
=-(t-3/2)^2+25/4
∴当t=3/2时，EF的最大值=25/4　

(3)s=75/8
ⅰ过点E作a⊥EF交抛物线于点P,

设点P(m,m^2-2m-3)

则有：m^2-2m-3=5/2
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，
综上所述：所有点P的坐标（3点） 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

Answer 2

-

Answer 3

解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）

∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)

∴

解得：b=-2 c=-3　　　　　　　　　　

（2如26题图：∵直线AB经过点A（-1，0）B(4,5)

∴直线AB的解析式为：y=x+1

∵二次函数

∴设点E(t， t+1),则F（t，）

∴EF=

　　=

∴当时，EF的最大值=

∴点E的坐标为（，）　

（3）①如26题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）

S　=　S　+　S

=

= 　　

②如26题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,

设点P(m,)

则有： 解得:,

∴,　

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）

则有： 　　解得： ，（与点F重合，舍去）∴

综上所述：所有点P的坐标：，（. 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．