Question

高数题初值问题求解

求初值问题 y”+y＝3sin2x , -π/2≤x≤π/2,y（π/4）＝0,y＇（π/4）＝1的解
帮帮忙啦……o>_<o～

Answer 1

对应二阶常系数齐次微分方程特征方程为：r^2+1=0,
r=±i,齐次方程通解（余函数），Y=C1cosx+C2sinx,
设非齐次方程特解y*=acos2x+bsin2x,
用待定系数法解a,b,
y'=-2asin2x+2bcos2x,
y"=-4acos2x-4bsin2x,
b=0,-4a=3,a=-3/4,
∴其通解为:y=C1cosx+C2sinx-(3/4)cos2x,
当x=π/4时，0=√2C1/2+√2C2/2-0=0，
C1+C2=0，
y'=-C1sinx+C2cosx+(3/2)sin2x,
x=π/4,1=-C1(√2/2）+C2*√2/2+3/2=1，
C1=√2/4，C2=-√2/4，
∴满足初始条件的特解为：y=（√2/4）cosx-(√2/4）sinx-(3/4)cos2x.