Question

已知定义域为R的的函数f（x）=—2^x+1/2^（x+1）+2是奇函数，①判断函数f（x）的单调性

已知定义域为R的的函数f（x）=—2^x+1/2^（x+1）+2是奇函数， (1)判断f(x)的单调性 (2)若对于任意的t∈R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立,求k的取值范围
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Answer 1

1.f（x）=(-2^x+1)/(2X2^x+2)
=-1/2乘以[1-2/(2^x+1)]
然后用用定义去求解单调性
设x1<x2.则f(x1)-f(x2)=-1/2乘以[1-2/(2^x1+1)]-(-1/2)乘以[1-2/(2^x2+1)]
=1/2乘以[2/(2^x1+1)-2/(2^x2+1)]
=1/(2^x1+1)-1/(2^x2+1)
=(2^x2-2^x1)/[(2^x1+1)x(2^x2+1)]
因为x1<x2,所以2^x2-2^x1>0,所以f(x1)-f(x2）>0
所以此函数是单调递减的。
2.f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价为 f(t^2-2t)<-f(2t^2-k) 因为函数是奇函数，所以
-f(2t^2-k)=f(-2t^2+k)，得到：f(t^2-2t)<f(-2t^2+k)
由1知函数是单调递减的，所以(t^2-2t)>(-2t^2+k)
整理得：k<3t^2-2t t∈R
然后求 3t^2-2t 在 t∈R的最小值，为-1/3.(二次函数求最小值，相信你会的)
综上所述：k的范围是k<-1/3.

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