Question

在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c 若1+tanA/tanB=2c/b,则角A的大小

请求详细过程，及多种方法。谢谢
答案为 角A=60度

Answer 1

方法一：初中方法
过C作CD⊥AB交AB于D。
由锐角三角函数定义，有：tanA＝CD/AD、tanB＝CD/BD。
依题意，有：1＋（CD/AD）/（CD/BD）＝2（AD＋BD）/AC，
∴1＋BD/AD＝2（AD＋BD）/AC，∴（AD＋BD）/AD＝2（AD＋BD）/AC。
显然，AD＋BD＞0，∴1/AD＝2/AC，∴AC＝2AD，结合CD⊥AD，得：∠A＝60°。

方法二：高中方法
∵1＋tanA/tanB＝2c/b，∴结合正弦定理，容易得出：1＋tanA/tanB＝2sinC/sinB，
∴tanA＋tanB＝2sinC/sinB］tanB，　∴sinA/cosA＋sinB/cosB＝2sinC/cosB，
∴（sinAcosB＋cosAsinB）/（cosAcosB）＝2sinC/cosB，
∴sin（A＋B）/cosA＝2sinC，　∴sin（180°－C）/cosA＝2sinC，　∴sinC/cosA＝2sinC，
显然，sinC＞0，∴1/cosA＝2，∴cosA＝1/2，∴∠A＝60°。

Answer 2

正弦线定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
1+tanA/tanB=2c/b整理得：sinA*cosB/(cosA*sinB)=(2c-b)/b=(2sinC-sinB)/sinB
将等式两边同乘以cosA*sinB得
sinA*cosB=cosA(2sinC-sinB)=2cosAsinC-cosA*sinB
即sinA*cosB+cosA*sinB=2cosAsinC
等式左边积化和差 :sin(A+B)=2cosAsinC
∵A+B+C=180 ∴sin(A+B)=sin（180-c）=sinC
∵等号右边=2cosAsin
∴2cosA=1
∴cosA=1/2
∴角A=60度（三角形内角）