Question

数学大神帮个忙

Answer 1

考虑0<t<1（t>1可类似讨论）
首先要知道|logx|的图像大致是V字形，最低点为(1,0)
|logxt|的图像大致也是V字形（把|logx|的图像向右平移），最低点为(1/t,0)
两个图像在log(x0)=-log(x0t)时相交，即x0=1/t^{1/2}
所以f(x)的图像大致是W字形的，在(0,1]递减，[1,x0]递增, [x0,1/t]递减, [t,+oo)递增
f(x)=1至少有3个解的充要条件是|logx|的图像和|logxt|的图像的交点不在y=1以下，也就是log(x0)>=1，所以x0>=2, t<=1/4，这说明t没有最小值
如果把题目条件从t>0改成t>1，那么可以解出t>=4，t的最小值是4