Question

如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN‖BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平

分线于点F，当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

Answer 1

当O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形。
∵O是AC的中点，∴OA=OC
又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，
CE是角平分线→∠OCE=∠ECB
∴∠OEC=∠OCE→OC=OE，同理可得OF=OC
∴OA=OC=OE=OF→四边形AECF为平形四边形①
又∵CE，CF为角平分线，∠ECA+∠ACF=90°②
由①②→四边形AECF是矩形

Answer 2

在BC右端标字母G，标∠ECB为∠1，∠ECA为∠2，∠CEF为∠3，∠FCA为∠4，∠FCG为∠5
证明：
∵CE平分∠BCA
∴∠1=∠2
又∵MN//BC
∴∠1=∠3
∴∠3=∠2
∴EO=CO
同理可证：FO=CO
∴EO=FO
若OA=OC，则四边形AECF是平行四边形
又∵∠1=∠2，∠4=∠5
∴∠1+∠5=∠2+∠4
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°
∴四边形AECF是矩形
即当O在AC中点时，四边形AECF是矩形。

Answer 3

当O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形。
∵O是AC的中点，∴OA=OC
又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，
CE是角平分线→∠OCE=∠ECB
∴∠OEC=∠OCE→OC=OE，同理可得OF=OC
∴OA=OC=OE=OF→四边形AECF为平形四边形①
又∵CE，CF为角平分线，∠ECA+∠ACF=90°②
由①②→四边形AECF是矩形

Answer 4

当O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形。
∵O是AC的中点，∴OA=OC
又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，
CE是角平分线→∠OCE=∠ECB
∴∠OEC=∠OCE→OC=OE，同理可得OF=OC
∴OA=OC=OE=OF→四边形AECF为平形四边形①延长BC到P，则∠BCE+∠ECA+∠ACF+∠FCP=180°。又∠BCE=∠ECA，∠ACF=∠FCP，所以∠ECA+∠ACF=90°
又∵CE，CF为角平分线，∠ECA+∠ACF=90°②
由①②→四边形AECF是矩形

Answer 5

当O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形。
∵O是AC的中点，∴OA=OC
又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，
CE是角平分线→∠OCE=∠ECB
∴∠OEC=∠OCE→OC=OE，同理可得OF=OC
∴OA=OC=OE=OF→四边形AECF为平形四边形①
又∵CE，CF为角平分线，∠ECA+∠ACF=90°②
由①②→四边形AECF是矩形

Answer 6

当O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形。
∵O是AC的中点，∴OA=OC
又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，
CE是角平分线→∠OCE=∠ECB
∴∠OEC=∠OCE→OC=OE，同理可得OF=OC
∴OA=OC=OE=OF→四边形AECF为平形四边形①
又∵CE，CF为角平分线，∠ECA+∠ACF=90°②
由①②→四边形AECF是矩形