Question

高中数学解析几何

设M、N为抛物线C:y=x^2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1,l2，与x轴分别交于A.B两点，AB=1，l1,l2交于点P

求点p的方程

求证：△MNP的面积是定值，并求出大小

请给出详细说明，感激不尽

Answer 1

设M的坐标为(x1,x1^2)，N的坐标为(x2,x2^2)
在曲线y=x^2上的切线的斜率为此曲线的导数：k=y‘=2x
所以过M点的切线的斜率为：k1=2x1，同理得k2=2x2
所以经过M点的切线方程l1为：（y-x1^2)=2x1(x-x1)，整理得：y=(2x1)x-x1^2
同理得经过N点的切线方程l2为：y=(2x2)x-x2^2
可知y=0时，即为A，B点的坐标，得A((x1)/2,0)，B((x2)/2,0)
因为AB=1，可得|x1-x2|=2
点P的坐标为：(2x1)x-x1^2=(2x2)x-x2^2，得x=(x1+x2)/2，进一步得：y=x1*x2
对于P点坐标，有x1+x2=2x和x1*x2=y，整理得：
(x1+x2)^2-4x1*x2=(x1-x2)^2=2^2=4，代入得：
(2x)^2-4y=4
所以P点方程为：y=x^2-1

接下来求面积：
M(x1,x1^2)，N(x2,x2^2)，P((x1+x2)/2,x1*x2)
过MN的直线方程为：y-x1^2=((x2^2-x1^2)/(x2-x1))*(x-x1)，得：y=(x1+x2)x-x1x2
P点到直线的距离（三角形的高）为：h=|(x1+x2)*((x1+x2)/2)-x1x2-x1x2|/sqrt((x1+x2)^2+(-1)^2)
得h=((x1-x2)^2/2)/sqrt((x1+x2)^2+1)
由于|x1-x2|=2，所以h=2/sqrt((x1+x2)^2+1)
MN的距离为：a=sqrt((x1-x2)^2+(x1^2-x2^2)^2)
同理代入|x1-x2|=2得：
a=2*sqrt((x1+x2)^2+1)
三角形面积为S=0.5*a*h=0.5*2*sqrt((x1+x2)^2+1)*2/sqrt((x1+x2)^2+1)=2为定值。