Question

第八题 请写出过程谢谢

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Answer 1

（1）
设z1＝a＋bi，其中a、b都是实数。
则：z2＝a＋bi＋1/（a＋bi）＝a＋bi＋（a－bi）/（a^2＋b^2）＝实数，
∴1－1/（a^2＋b^2）＝0，∴a^2＋b^2＝1，∴｜z1｜＝√（a^2＋b^2）＝1。
显然有：b^2＝1－a^2＞0，∴a^2＜1，∴－1＜a＜1。
综上所述，得：｜z1｜＝1，z1实部的取值范围是（－1，1）。

（2）
∵（1－z1）/（1＋z1）
＝（1－a－bi）/（1＋a＋bi）
＝［（1－a－bi）（1＋a－bi）］/［（1＋a）^2＋b^2］
＝［1－（a－bi）^2］/［（1＋2a＋a^2）＋b^2］
＝［1－（a^2－2abi＋b^2）］/（2＋2a）
＝abi/（1＋a）。
又－1＜a＜1，且b不为0，∴abi/（1＋a）是纯虚数，即：ω是纯虚数。