Question

已知等差数列｛an｝的公差大于0，

已知等差数列｛an｝的公差大于0，且a3 a5是方程x^2-14x+45=0的两根，数列｛bn｝的前n项和为Sn,且Sn=1-bn/2(n属于N*)
求数列｛an) {bn}的通项公式
若cn=an乘bn,求数列｛cn}的前n项和Tn

Answer 1

(1)∵a3 a5是方程x^2-14x+45=0的两根
d>0,a3 <a5
∴a3=5 a5=9
∴a₁+2d=5 a₁+4d=9
∴a₁=1,d=2
∴an=2n-1
｛bn｝
∵Sn=1-bn/2,S(n+1)=1-b(n+1)/2
∴b(n+1)=S(n+1)-Sn=-b(n+1)/2+bn/2,
∴b(n+1)/bn=1/3
｛bn｝是等比数列，公比为1/3
又b₁=S₁=1-b₁/2,∴b₁=2/3
∴bn=2/3×(1/3)^(n-1)=2×(1/3)^n

cn=an×bn=(2n-1)[2/3×(-2)^(n-1)]
Tn= 1×2×(1/3)+3×2×(1/3)^2+5×2×(1/3)^3+.....+(2n-1)×2×(1/3)^n (1)
1/3Tn=1×2×(1/3^2+3×2×(1/3)^3+......+(2n-3)×2×(1/3)^n+(2n-1)×2×(1/3)^(n+1)(2)
(1)-(2):
2/3Tn=2/3+4[(1/3)²+(1/3)^3+.....+(1/3)^n]-2(2n-1)(1/3)^(n+1)
=2/3+ 2/3[1-(1/3)^(n-1)]-2(2n-1)(1/3)^(n+1)
Tn=2- (1/3)^(n-1)- (2n-1)(1/3)^n=2-2(n+1)×(1/3)^n