Question

求解积分∫[0,1]ln(1-x)/x dx

Answer 1

先将被积函数展开成幂级数，再逐项积分。
ln（1-x）=x+x²/2+x³/3+x^4/4+……
所以ln（1-x）/x=1+x/2+x²/3+x³/4+……
逐项积分得∫（0，1）ln（1-x）/x=1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+……=π²/6

追问

1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+……=π²/6 怎么得来的？

追答

抱歉，写错了。应该是：
ln（1-x）=-（x+x²/2+x³/3+x^4/4+……）
所以ln（1-x）/x=-（1+x/2+x²/3+x³/4+……）
逐项积分得∫（0，1）ln（1-x）/x=-（1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+……）=-π²/6
至于1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+……=π²/6，这是用傅里叶级数得到的。见图

追问

如果积分上限换为t而且t~（0,1），该怎么办？

追答

也可以将被积函数ln(1-x)/x 展开成幂级数，然后逐项积分。

追问

那个不好求吧？

追答

挺好求的。被积函数的原函数不是初等函数，所以无法使用牛顿—莱布尼兹公式。只能将其展开为幂级数。

追问

真不好逑