Question

设点O在三角形ABC的内部且有4向量OA+向量OB+向量OC=0,三角形ABC则三角形ABC的面积与三角形OBC的面积之比为

Answer 1

设BC中点为D，
向量OB+向量OC=2向量OD
∵4向量OA+向量OB+向量OC=向量0
∴4向量OA+2向量OD=向量0
向量OD=-2向量OA
所以|A,O,D三点共线
|AD|=3/2|OD|
三角形ABC的面积与三角形OBC的面积之比为3/2

Answer 2

设BC中点为D，连接AO、OD、AD。
因为 2AD=AB+AC=(OB-OA)+(OC-OA)=(OB+OC)-2OA=-4OA-2OA=6AO，
所以 O 在AD上，且 |OD|：|AD|=2：3，
因此，SABC：SOBC=|AD|：|OD|=3：2 。

Answer 3

4OA+OB+OC=0
-4OA=OB+OC
设BC中点D
2OD=OB+OC

-4OA=2OD
AD在同一条直线上
4|OA|=2|OD|
|OD|=2|AO|
|OD|/|AD|=2/3
Sbod=(1/2)|BD|*|OD|sinBDO
Sboa=(1/2)|BD|*|AD|sinBDO
Sbod=(2/3)Sboa
同理
Scod=(2/3)Scoa
Sabc=(3/2)Sboc

Answer 4

http://i159.photobucket.com/albums/t145/l421013/MATH2/4O.png