Question

线性方程组有解的充要条件

Answer 1

充要条件是r(A)=r(B)=r(A；B)(A，B上下放置)。可以转化成方程组理解一下，r(A；B)=r(A)就说明以A为系数矩阵的方程组和以(A；B)为系数矩阵的方程组的约束条件数量一致，说明AX=0和BX=0两个方程组等价。即同解。这是充分性。必要性也一样可以通过方程组理解。数值方法

在实际运算中，当矩阵的维数较高时，计算行列式是非常困难的。也就是说，计算行列式的计算复杂度随维数的增长非常快，对于一个的矩阵，用初等的方法计算其行列式，需要的计算时间是（n的阶乘）。

因此，克莱姆法则在实际计算中并未被采用。其意义仅仅在于出现在教材上，用以说明好的数值方法的重要性。

经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。前者例如高斯消元法, LU分解等，后者的例子包括共轭梯度法等。这些方法的计算复杂度在可以接受的范围内，因此被广泛采用。

例如，高斯消元法的复杂度为.一般来说，直接法对于阶数比较低的方程组（少于20000至30000个未知数）比较有效；而后者对于比较大的方程组更有效。

在实际计算中，几十万甚至几百万个未知数的方程组并不少见。在这些情况下，迭代法有无可比拟的优势。另外，使用迭代法可以根据不同的精度要求选择终止时间，因此比较灵活。

在问题特别大的时候，计算机内存可能无法容纳被操作的矩阵，这给直接法带来很大的挑战。而对于迭代法，则可以将矩阵的某一部分读入内存进行操作，然后再操作另外部分。

Answer 2

R(A)=R(AB)=n是非其次方程组有解的充要条件
齐次方程组有唯一零解的充要条件是系数行列式的值为0 不为0就有无穷多解

Answer 3

楼上的是错的，对于非齐次线性方程组，R（A）＝R（B）＜n时有无穷多解。R（A）＝R（B）＝n时有惟一解时。而齐次线性方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不为0！此时对应的非齐次线性方程组也只有惟一解

Answer 4

如果是齐次线性方程组的话一定有解
非齐次的话 如AX=B 只要保证A的秩等于A B的秩

Answer 5

序数矩阵的秩等于扩充矩阵的秩，即
R(A)=R(A,b)