Question

初二数学题，急~~~~~~~~~~~ 20分悬赏！

操作与探究：
如图1，在正方形ABCD中，AB=2，将一块足够大的三角板的直角顶点P放在正方形的中心O处，将三角板绕O点旋转，三角板的两直角边分别交边AB、BC于点E、F．
（1）①试猜想PE、PF之间的大小关系，并证明你的结论；
②求四边形PEBF的面积；
（2）现将直角顶点P移至对角线BD上其他任意一点，（如图2）PE、PF之间的大小关系是否改变？并说明理由．若BP长为a，试用含有a的代数式表示四边形PEBF的面积S
（3）如果将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD，其中AB=2，AD=3，PE、PF之间的大小关系是否改变？如果不变，请说明理由；如果改变，请直接写出它们之间的关系。

Answer 1

解：（1）PE＝PF。
证明：过点P作PM垂直于AB于M，PN垂直于BC于N，于是
在直角三角形PEM和PFN中，
<MPE+<EPN=90
<EPN+<NPF=90,由此得<MPE=<NPE,
　　　　　　　PM＝PN，由此得直角三角形PEM全等于PFN，得到PE＝PF。
四边形PEBF的面积＝S三角形PFN+S四边形PEBN
　　　　　　　　　　＝S三角形PEM+S四边形PEBN
　　　　　　　　　　＝S正方形PMBN＝S正方形ABCD/4＝2*2/4＝1
（2）移动后，作法同（1），引垂线，证全等，同样利用直角三角形全等条件判定PE＝PF。
四边形PEBF的面积可以拼成正方形，其对角BP长为a,则正方形PEBF的面积S＝（a/根号2）的平方＝a的平方/2
（3）换后，PE不再等于PF，PE/PF＝AD/AB＝3/2，比值取决于矩形连长的比例，因为它们是相似关系。

Answer 2

解：
（1）①PE=PF．
过P点作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N．
∵ABCD是正方形
∴BD平分∠ABC
∵PM⊥AB且PN⊥BC
∴PM=PN
在四边形BEPF中
∵∠EBF=∠EPF=90°
∴∠PFB+∠PEB=180°
又∵∠PEB+∠PEM=180°
∴∠PFB=∠PEM
∴Rt△PEM≌Rt△PFN（AAS）
∴PE=PF；

②
由①可得：
四边形PEBF的面积等于正方形PMBN的面积
∴S四边形PEBF=1

（2）不会改变
过P点作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N
∵ABCD是正方形
∴BD平分∠ABC
∵PM⊥AB且PN⊥BC
∴PM=PN
在四边形BEPF中
∵∠EBF=∠EPF=90°
∴∠PFB+∠PEB=180°
又∵∠PEB+∠PEM=180°
∴∠PFB=∠PEM
∴Rt△PEM≌Rt△PFN（AAS）
∴PE=PF
S四边形PEBF=S正方形PMBN=a²/2

（3）PE:PF=3:2
过P点作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N
∵∠EBF=∠EPF=90°
∴∠PFB+∠PEB=180°
又∵∠PEB+∠PEM=180°
∴∠PFB=∠PEM
∵∠PME=∠PNF=90°
∴△PEM∽△PFN
∴PE:PF=PM:PN
∵PM∥AD
∴PM:AD=BP:BD
∵PN∥CD
∴PN:CD=BP:BD
∴PM:AD=PN:CD
∴PM:PN=AD:CD=3:2
∴PE:PF=3:2

Answer 3

（1）PE=PF 

如图 证明RT△PNE≌RT△PMF 就行

面积为1个平方单位 旋转RT△PMF至RT△PNE  正方形ONBM 

（2）相等

正方形面积等于对角线平方的一半 S=a²的一半

（3）证明RT△PNE∽RT△PMF 成比例关系

Answer 4

（1）PE=PF．
作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N．
∵ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC．
∴PM=PN．
在四边形BEPF中，
∵∠EBF=∠EPF=90°，
∴∠PFB+∠PEB=180°．
又∵∠PEB+∠PEM=180°，
∴∠PFB=∠PEM．
∴Rt△PEM≌Rt△PFN，（AAS）
∴PE=PF；

（2）由（1）知四边形PEBF的面积等于正方形PMBN的面积．
∵BO=OD，OM∥AD，
∴BM=AM=1．
∴S四边形PEBF=1；

（3）不会改变．理由如下：
作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N．
∵ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC．
∴PM=PN．
在四边形BEPF中，
∵∠EBF=∠EPF=90°，
∴∠PFB+∠PEB=180°．
又∵∠PEB+∠PEM=180°，
∴∠PFB=∠PEM．
∴Rt△PEM≌Rt△PFN，（AAS）
∴PE=PF．