Question

设区域D：x^2+y^2≤R^2,则二重积分∫∫D√R^2-x^2-y^2dxdy的几何意义是什么？ 注：∫∫的下面是D

过程，希望详细点~越详细越好~
答案是半径为R的球体的体积的一半，求原因，求解释~

Answer 1

你可以仿照定积分的几何意义来思考。

二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积，以D为底，以被积函数z=f(x,y)为顶部曲面，然后围出一个曲顶柱体，这个柱体的体积就是二重积分的结果。

相关如下

你可以仿照定积分的几何意义来思考。

就本题而言，D就是x^2+y^2≤R^2，是个圆。
顶部曲面为z=√(R^2-x^2-y^2)，这就是以原点为球心，R为半径的上半球，它与D所围的曲顶柱体就是这个半球，因此本题就相当于求这个半球的体积，所以象这种题可直接算出结果为2/3πR^3。

二重积分：∫∫√(R^2-X^2-Y^2)dxdy,其中D是由圆周X^2+Y^2=Rx所围成的闭区域。这题我懂但就是解的过程中不太会积分,答案是R^3/3*(pai-4/3)。

用极坐标来做,令x=rcosθ,y=rsinθ则∫∫√(R^2-X^2-Y^2)dxdy=∫∫ r *√(R^2-r^2) drdθ,由积分区域D：X^2+Y^2=Rx可以知道。

Answer 2

你可以仿照定积分的几何意义来思考。

二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积，以D为底，以被积函数z=f(x,y)为顶部曲面，然后围出一个曲顶柱体，这个柱体的体积就是二重积分的结果。

就本题而言，D就是x^2+y^2≤R^2，是个圆，
顶部曲面为z=√(R^2-x^2-y^2)，这就是以原点为球心，R为半径的上半球，它与D所围的曲顶柱体就是这个半球，因此本题就相当于求这个半球的体积，所以象这种题可直接算出结果为2/3πR^3

追问

朋友，能加下qq吗？想问你些高数的问题，希望你能加下~378758936~

Answer 3

圆 包围的面积吧？
话说二重积分的几何意义？
我还 木有和别人探讨过

Answer 4

没有，我说