Question

已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数 y=3/4x+3的图象与y轴交于点A，

点M在正比例函数 y=3/2x的图象上，且MO=MA．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M．

如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数 y=3/4x+3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

Answer 1

(1) A(0, 3)
设M(m, 3m/2 + 3)
MO² = MA²
m² + (3m/2 +3)² ＝ m² +(3m/2)²，　(3m/2 +3)² = (3m/2)²
m = -1, M(-1, 3/2)
AM = √[(-1-0)² + (3/2 -3)²] = (√13)/2

(2) 代入A的坐标，c = 3
代入M的坐标，3/2 = (-1)² - b + 3, b = 5/2
二次函数的解析式: y = x² + 5x/2 + 3

(3) 由图可知，C，D肯定在y轴左侧。设C(a, a² + 5a/2 + 3)，则D(a, 3a/4 + 3)（因为CD平行于y轴), a <0
CD=3a/4 + 3 - (a² + 5a/2 + 3) = -a² - 7a/4
AD = √[(a -0)² + (3a/4 + 3 -3)²] = -5a/4
CD = AD, a = -1/2
C(-1/2, 2)

Answer 2

A点为一次函数y=3/4x+3与Y轴交点，则A点坐标为（0,3）；
又MO=MA，三角形MAO为等腰三角形，M为顶点，M横坐标值为3/2；
M又在比例函数 y=3/2x的图象上，则纵坐标值9/4，M点坐标为（3/2,9/4）；
二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M,即3=c且9/4=（3/2）2+3/2b+c,解得b=-2,c=3；
则二次函数y=x2-2x+3；
又四边形ABCD是菱形，A、B在Y轴上且B在A的下方，则C、D的横坐标相同，且大于0；
设B（0，m)（m<3),C(n,n2-2n+3),D(n,3/4n+3)；
绝对值AB=3-m 绝对值DC=yD-yC =11/4n-n²
绝对值AD=根号下（n-0)²-（3/4n+3-3）²=5/4n；
绝对值AB= 绝对值DC，则3-m=11/4n-n²；
绝对值AB=绝对值AD，则3-m =5/4n；
解得n=3/2；
n2-2n+3=9/4；
C点坐标为（3/2,9/4）。

Answer 3

设B（0，m） C（n，n²-5/2n+3） D(n，3/4n+3）
绝对值AB=3-m 绝对值DC=yD-yC=13/4n-n²
绝对值AD=根号下（n-0)²-（3/4n+3-3）²=5/4n
绝对值AB=绝对值DC=13/4n-n²...j 绝对值AB=绝对值AD=5/4n...k
解j，k得n1=0（舍去） n2=2
将n2带入点C得C（2,2）

Answer 4

解：（1）根据y= x+3，解得点坐标A（-4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，
∴OA′=OA=4，OB′=OB=3，
∴A′（0，4），B′（3，0），
设直线A′B′的解析式为y=kx+b，则 ，解得 ，
∴直线A′B′的解析式为y=- +4；
（2）解方程组 ，
求得两直线交点坐标，得C（ ， ），
∴S△A′BC=1× = ，S△A′BO=4×3× =6，
∴ = ．

Answer 5

解析：∵函数 y=3/4x+3的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数 y=3/2x的图像上 ∴A(0,3) 设M(x,y) 过M作ME⊥Y轴于E 在⊿AEM和⊿OEM中 ∵OM=AM，∴AM^2=x^2+(3-y)^2=OM^2=x^2+y^2==>y=3/2 ∴M(1,3/2) ∵点A、M在二次函数y=x2+bx+c的图象上 ∴c=3, 3/2=1+b+3==>b=-5/2 ∴二次函数y=x^2-5/2x+3 ∵点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数 y=3/4x+3的图象上，且四边形ABCD是菱形 设C(x,y), y= x^2-5/2x+3 ∵AB//CD，∴D(x,3/4x+3) ∵AD//BC，∴BC斜率=(y-yb)/x=3/4==>yb=(4y-3x)/4 ∴B(0, (4y-3x)/4) AD^2=x^2+(3/4x+3-3)^2=25/16x^2==>AD=5/4x DC=3/4x+3- x^2+5/2x-3==13/4x-x^2 AD=CD==>13/4x-x^2=5/4x==>x=2 ∴y=4-5+3=2 ∴C(2,2)