Question

高等数学，求图中第六题通解

Answer 1

具体解答如下图所示：

Answer 2

（6） 为贝努里方程，令 y^(1-2) = z, 即 y = 1/z
则 dy/dx = -(1/z^2)dz/dx, 原微分方程则为
-(1/z^2)dz/dx + 1/z = (1/z^2)(cosx-sinx), 即
dz/dx - z = sinx - cosx
z = e^(∫dx)[∫(sinx-cosx)e^(-∫dx)dx + C]
= e^x [ ∫ (sinx-cosx)e^(-x)dx + C]
其中 I = ∫ (sinx-cosx)e^(-x)dx = - ∫ (sinx-cosx)de^(-x)
= (cosx-sinx)e^(-x) + ∫ (cosx+sinx)e^(-x)dx
= (cosx-sinx)e^(-x) - ∫ (cosx+sinx)de^(-x)
= (cosx-sinx)e^(-x) - (cosx+sinx)e^(-x) - I
2I = -2sinxe^(-x), 则 I = -sinxe^(-x),
得 z = e^x [ -sinxe^(-x) + C] = -sinx + Ce^x
即通解是 y(-sinx + Ce^x) = 1