Question

设函数f(x)在［0，2a］上连续，且f(0)=f(2a),试证明在［0，a］上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=f(ξ+a).

Answer 1

设F(x)=f(x)-f(x+a)
F（0）=f（0）-f（a）
F（a）=f（a）-f（2a）
F（0）* F（a）<0
所以 由介值定理，存在F（ξ）=f（ξ）- f（ξ+a）=0
所以，f（ξ）=f（ξ+a）
不懂追问

Answer 2

∵f(x)连续且不单调，∴存在f(p)为函数的极值点
过极值点作直线y=z(z介于f(p)与0之间)假设截取f(x)图像上两点(x,f(x)),(x+L,f(x))，其中L为截取线段长度
∵0<=x<=p
构造长度函数L(x),则0<=L(x)<=2a且连续
于是存在m∈[0,p],L(m)=a 此时两点的横坐标为m,m+a
又0<=m,m+a<=2a
∴0<=m<=a
f(m)=f(m+a)