Question

如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax平方+bx+c(a>0)的图像顶点为D

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO= 1/3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；
（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

Answer 1

解：（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
将A、B、C三点的坐标代入
得 {a-b+c=0，9a+3b+c=0，c=-3
解得： {a=1，b=-2，c=-3
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
设该表达式为：y=a（x+1）（x-3）
将C点的坐标代入得：a=1
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3

（2）如图，①当直线MN在x轴上方时，
设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得 R=(1+√17)/2
②当直线MN在x轴下方时，
设圆的半径为r（r＞0），
则N（r+1，-r），
代入抛物线的表达式，
解得 r=(-1+√17)/2
∴圆的半径为(1+√17)/2或(-1+√17)/2．

（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1．
设P（x，x²-2x-3），则Q（x，-x-1），
PQ=-x²+x+2．S△APG=S△APQ+S△GPQ=1/2（-x²+x+2）×3
当x=1/2时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为（1/2，-15/4），S△APG的最大值为27/8