Question

已知f（logax）=[a/a^2-1]（x-x^-1），其中a>0且a≠1。

（1）求f（x）的解析式。
（2）判断并证明f（x）的单调性。
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4<0恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

原题写法有错，正确应为（2中写法。另外，由于计算量大，是口算，若有错误之处请再细算，思路完全正确。

(1)令t=logax，那么x=a^t ，代入原函数可得
f(t)=a/(a^2-1)(a^t-1/a^t) 即f(x)的解析式为：f(x)=a/(a^2-1)(a^x-1/a^x)

(2)设x1<x2，那么f（x1）-f(x2)=[a(a^x1^2-a^x2^2)]/[(a^2-1)(a^x1)(a^x2)]
当0<a<1时，a^x1^2-a^x2^2>0,a^2-1<0,a^x1)(a^x2)>0,此时有f(x1)<f(x2)
当1<a时，a^x1^2-a^x2^2<0,a^2-1>0,a^x1)(a^x2)>0,此时有f(x1)<f(x2)
综上可得，f(x)在其定义域上为增函数。
（3）由（2）知，f(x)在其定义域上为增函数,f(x)<f(2),那么要使x∈（-∞，2）时，即有f(x)<f(2),
要使f（x）-4<0恒成立，则需要f(x)<f(2)<4恒成立，。
求得：0<a<2+√3 (因为a>0且a≠1)

Answer 2

令logax=t
x=a^t
代入就可以得到f（x）的解析式
题目写的有点问题

Answer 3

题目本身是有错
但思路应该是一样的
1利用换元法即可
2利用函数单调性的定义法

Answer 4

我是00后好不好，你问我这么难的问题鬼才会回答，这些符号我连见都没有见过