Question

已知sinα/2=根号5/5,cos(α+β)=5/13，α∈（0，π），β∈（0，π/2），求sin2α和sinβ的值

Answer 1

∵α∈（0，π） α/2∈（0，π/2），
∵sinα/2=√5/5,，cosα =1-2sin²α/2=3/5,sinα=4/5
∴ sin2α=2sinαcosα=24/25
∵cos(α+β)=5/13,∴sin(α+β)=12/13
sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
=12/13×3/5-5/13×4/5=16/65

Answer 2

∵α∈（0，π），β∈（0，π/2）
∴α+β∈（0，3π/2）
∴cos(α+β)=5/13＞0
∴α+β∈（0，π/2）
∴α∈（0，π/2）
∴α/2∈（0，π/2）
sin(α/2)=根号5/5
cos(α/2)=√{1-(根号5/5)^2} = 2根号5/5
sinα = 2sin(α/2)cos(α/2) = 2*根号5/5*2根号5/5 = 4/5
cosα = √{1-(4/5)^2} = 3/5
sin2α = 2sinαcosα = 2*4/5*3/5 = 24/25

cos(α+β)=5/13
cosαcosβ-sinαsinβ=5/13
3/5cosβ-4/5sinβ=5/13
3cosβ=25/13+4sinβ
9cos^2β=625/169+200/13sinβ+16sin^2β
9-9sin^2β=625/169+200/13sinβ+16sin^2β
25sin^2β+200/13sinβ-896/169 = 0
(5sinβ+16/13)(5sinβ-56/13)=0
β∈（0，π/2），5sinβ+16/13＞0
5sinβ-56/13=0
sinβ = 56/65