Question

根据定义证明:当x趋于0时，函数y=(1+2x)/x是无穷大。问x只要满足什么条件，就能使|y|＞

根据定义证明:当x趋于0时，函数y=(1+2x)/x是无穷大。问x只要满足什么条件，就能使|y|＞10∧4？

Answer 1

|y|＝|2＋1/x|≥1/|x|－2
对于任意大的正数M,要使得|y|＞M,只要1/|x|－1＞M,
即|x|＜1/(2+M),取δ＝1/(2+M),当0＜|x|＜δ时,|y|＞M,所以当x→0时,函数y=(1+2x)/x是无穷大
当0＜|x|＜1/(2+10^4)时,|y|＞10^4

Answer 2

对任意ε>0，存在d=1/(ε+2)，使对所有0<|x|<d，有

|(1+2x)/x|
=|1+2x|/|x|
>(1-|2x|)/|x|
>(1-2d)/d
=1/d-2
=ε
所以lim(x->0) (1+2x)/x=∞
取ε=10^4，得d=1/(10^4+2)=1/10002
即只需x满足0<|x|<1/10002，就能使|y|>10^4

Answer 3

额，工作多年了，可能理解条件不太清楚。这和Y在X趋于0无穷大这个条件根本无关吧？
把Y的定义带入问题，直接可以算出X的取值范围。如果绝对值不太会怎么取正负，那就分步证明，分Y大于等于0和Y小于0两步证明

Answer 4

l1/x+2l＞10000，所以1/x＞998或者1/x＜-1002，所以0＜x＜1/998或者-1/1002＜x＜0

追答

l1/x+2l＞10000，所以1/x＞9998或者1/x＜-10002，所以0＜x＜1/9998或者-1/10002＜x＜0

第一个错了

追问

答案是0＜|x|＜1/10002

追答

那就取范围小的

追问

要用定义求，

总之，谢谢你

Answer 5

|(1+2x)/x|>10^4,
<==>|1+2x|>10^4*|x|>0,
平方得1+4x+4x^2>10^8*x^2,x≠0，
∴(10^8-4)x^2-4x-1<0,x≠0，
∴-1/(10^4+2)<x<0,或0<x<1/(10^4-2).