Question

高一数学：函数的奇偶性

函数f（x）=ax+b/1+x^2 是定义（-1，1）上的奇数，且f（1/2）=2/5。
（1）确定函数f（x）的解析式
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数。

要有详细过程！！！

Answer 1

因为是奇函数
所以f(-1/2)=-2/5
(a/2+b)/(1+1/4)=2(a+2b)/5=2/5
(-a/2+b)/(1+1/4)=2(2b-a)/5=-2/5
b=0,a=1
f(x)=x/(1+x^2)

设-1<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)=(x1^2*x2+x2-x1-x1*x2^2)/(1+x1^2)(1+x2^2)
因为(x1^2*x2+x2-x1-x1*x2^2）
=x1x2(x1-x2)+(x2-x1)
=(x1x2-1)(x1-x2)
因为-1<x1<x2<1
所以x1x2<1,x1-x2<0
因此(x1x2-1)(x1-x2)>0
所以f(x2)>f(x1)
f（x）在（-1，1）上是增函数。

Answer 2

8.当x<0时，f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-x^2-2x-1
所以在R上f(x)的表达式是：f(x)=
x^2-2x+1，x>0

0
，x=0

-x^2-2x-1，x<0

Answer 3

1.当x＜0时，f﹙x﹚=﹣f﹙﹣x﹚=﹣x²﹣2x﹣1
∴f（x）=x²+2x+1..x＞0
............﹣x²﹣2x﹣1..x＜0

2.∵其是偶函数
∴x²﹣3=﹣2x
解得x=1或-3