Question

证明数列有极限并求极限

x 1 ＝√2，x 2＝√（2+√2），……，
x （n +1）＝√（2+x n ），（n ＝1，2，3，……）
试证该数列有极限，当n 趋于无穷时求极限x n .

Answer 1

假设极限为A
a=√（2+a）
a^2=2+a
a^2-a-2=0
a=-1 a=2
又因为xn>0
所以a=2
然后证明存在
就是证明xn单调有上界 假设xn<4就可以证明有上界 令xn+1-xn>0 证明单调性

Answer 2

可以证明：正项数列，当n>2时，x(n+1)/x(n)=√（2+x n )/x(n)<1/2
x(n)<1/2x(n-1)<...<(1/2)^(n-2)x(2)
右边收敛，所以x(n)收敛，设极限为m
m=√（2+m)
m=2

Answer 3

假设xn极限存在，设lim(n->∞) xn=A
lim(n->∞) x(n+1) =lim(n->∞) √(2+xn)
A=√(2+A)
A^2-A-2=0
(A-2)(A+1)=0
A=2或A=-1(舍去)
所以lim(n->∞) xn=2

Answer 4

求出极限就不用证明有极限了吧（其实是不会证明、、哈哈）
极限时、
x^2=2+x
解方程、、