Question

高数定积分设f(x)=1/(1+x),x≥0 f(x)=1/(1+e^x),x≤0 求积分f(x-1)dx 上限2 下限0

Answer 1

∫[0,2]f(x-1)dx
=∫[-1,1]f(x)dx
=∫[-1,0]f(x)dx+∫[0,1]f(x)dx
=∫[-1,0]1/(1+e^x)dx+∫[0,1]1/(1+x)dx
=∫[-1,0] [1-e^x/(1+e^x)]dx+∫[0,1]1/(1+x)dx
=[x-ln(1+e^x)] |[-1,0] + ln(x+1) | [0,1]
=ln(e+1)

追问

不好意思 我高数很烂 请问第三个=变到第四个=是怎么变化的

追答

1/(1+e^x)=1-[e^x/(1+e^x)]
这样就清楚多了吧，主要是用1减去之后，出现常数项（容易积分），而后面的项e^x/(1+e^x)也方便积分，这个积出来是ln(1+e^x)

Answer 2

解：
作变量代换 u=x-1，则dx =du
[0，2]∫f(x-1)dx /**** [0，2]表示积分区间
= [-1,1]∫f(u)du
= [-1,0]∫f(u)du + [0,1]]∫f(u)du
= [-1,0]∫[1/(1+e^u)] *du + [0,1]]∫[1/(1+u] *du
= [u - ln(1+e^u)] |[-1,0] + ln(1+u)|[0,1]
= ln(1+e)