Question

如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程

如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．
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Answer 1

解：（1）∵x2-4x-12=0，
∴x1=-2，x2=6．
∴A（-2，0），B（6，0），
又∵抛物线过点A、Bm、C，故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），
将点C的坐标代入，求得a=13，
∴抛物线的解析式为y=13x2-43x-4；
（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H（如图（1））．
∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（6，0），
∴AB=8，AM=m+2，
∵MN∥BC，∴△MNA∽△ABC．
∴NHCO=AMAB，
∴NH4=m+28，
∴NH=m+22，
∴S△CMN=S△ACM-S△AMN=12•AM•CO-12AM•NH，
=12(m+2)(4-m+22)=-14m2+m+3，
=-14(m-2)2+4．
∴当m=2时，S△CMN有最大值4．
此时，点M的坐标为（2，0）；

（3）∵点D（4，k）在抛物线y=13x2-43x-4上，
∴当x=4时，k=-4，
∴点D的坐标是（4，-4）．
①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE，
∵D（4，-4），∴DE=4．
∴F1（-6，0），F2（2，0），
②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0），
则平行四边形的对称中心为（n-22，0），
∴E'的坐标为（n-6，4）．
把E'（n-6，4）代入y=13x2-43x-4，得n2-16n+36=0．
解得n=8±27．F3(8-27，0)，F4(8+27，0)，
综上所述F1（-6，0），F2（2，0），F3（8-27，0），F4（8+27，0）．

Answer 2

（1）设y=a(x^2-4x-12),它过点（0，-4），
∴-4=-12a,a=1/3,
∴抛物线的解析式为y=(1/3)(x^2-4x-12).
(2)A(-2,0),B(6,0),
BC:y=(2/3)x-4,AC:y=-2x-4.
设M(m,0),-2<m<6,MN:y=(2/3)(x-m)交AC于N((m-6)/4,-(m+2)/2),
过M作MP⊥x轴交AC于P(m,-2m-4),
△CMN的面积=(1/2)|xC-xN|*|MP|=(1/4)(6-m)(m+2)=(-1/4)(m-2)^2+4,
当m=2时取最大值，这时M(2,0).
(3)D(4，-4),作DE∥x轴交抛物线于E(0，-4),
∴AF=DE=4，F(2,0)或（-6,0）,
∴四边形AFDE或FADE是平行四边形.