三角函数诱导公式的作用和用法
一、三角函数诱导公式的作用：可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。例如：
1、sin390°=sin（360°+30°）=sin30°=1/2.
2、tan225°=tan（180°+45°）=tan45°=1.
3、cos150°=cos（90°+60°）=sin60°=√3/2.
二、三角函数诱导公式的用法：
1、公式一到公式五函数名未改变， 公式六函数名发生改变。
2、公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
3、对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）
扩展资料：
常用的诱导公式：
sin (α+k·360°)=sinα（k∈Z）.
cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z）.
tan (α+k·360°)=tanα（k∈Z）.
cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z）.
sec（α+k·360°）=secα （k∈Z）.
csc（α+k·360°）=cscα （k∈Z）.
sin（π+α）=－sinα.
cos（π+α）=－cosα.
tan（π+α）=tanα.
cot（π+α）=cotα.
sec（π+α）=－secα.
csc（π+α）=－cscα.
参考资料来源：百度百科-诱导公式
比如：sin390°=sin（360°+30°）=sin30°=1/2.
tan225°=tan（180°+45°）=tan45°=1.
cos150°=cos（90°+60°）=sin60°=√3/2.
规律：纵变横不变,正负看象限
54个诱导公式,若一个一个的去死背,是一件很痛苦的事.但如果记住并会用八个字：
“奇变偶不变,符号看象限”【有的叫“竖变横不变,符号看象限”】便可免除这一痛苦.
怎么理解这八个字?有以下要点：
❶ 诱导角：有0°,90°,180°,270°,360°五个,“奇变偶不变”就是针对这五个诱导角说的.
90°和270°是90°的1倍和3倍,因此属“奇”；0°,180°,360°是90°的0倍,2倍和4倍,因此
属“偶”.90°±α,270°±α,都要“变”；0°±α,180°±α,360°±α,都“不变”.变什么?
怎么变?变的是函数名称,方法是正余互变：正弦变余弦,余弦变正弦；正切变余切,余切变正切；正割变余割,余割变正割.【竖变横不变,则是指这些诱导角的终边所在的位置说的,90°
和270°的终边在y轴上,因此属“竖变”；0°,180°,360°的终边在x轴上,属“横不变”】
❷ 符号看象限：在使用诱导公式时,千万记住：无论诱导角后面的α有多大,都要把它看作“锐
角”,并由此决定用哪个象限的符号.如sin(90°+500°)=cos500°,诱导角是90°,因此sin变cos
把500°看作锐角,那么90°+500°就要看作是第二象限的角,在第二象限内,sin为正,故变成cos后仍取正号.再如tan(180°-425°)=-tan425°,这是因为诱导角是180°,属“偶不变”,425°
要看成锐角,那么180°-425°就是第二象限的角,在第二象象限内tan为负,故变化后前面要加负
号.
❸记住六个三角函数在四个象限里的符号.六个三角函数分为三组：①sin,csc；②cos,sec；③tan,cot；每一组内的两个函数无论在哪个象限,它们的符号总是相同的.然后按上面的顺序
记住：第一象限：+++；第二象限：+－－；第三象限：－－+；第四象限：－+－.
❹ 明白了上面的规矩和道理,诱导角就可任意选择.比如你举的例子：sin(17π/2-α)=cosα
这是因为17(π/2)是90°的17倍,属“奇”,sin要变cos,17π/2-α就看成90°-α属第一象限,第
一象限的sin为正,故cos前面取正号.sin(18π/2-α)=sin(9π-α)=sinα,这是因为18(π/2)是90°的偶数倍,属“不变”,因此仍是sin,符号则取sin在第二象限的符号.
❺第❹所述是要很熟练时才能用,因为容易出错,比较稳妥还是把过大的角的三角函数先用360°±α 变为小于360°的三角函数,然后再用诱导公式变为锐角三角函数较好.如你的例子：
sin(17π/2-α)=sin(8π+π/2-α)=sin(π/2-α)=cosα;
sin(18π/2-α)=sin(9π-α)=sin(8π+π-α)=sin(π-α)=sinα.
这里的诱导角都是8π,是2π的4倍,函数名称不变,符号都取第一象限的符号,因为π/2-α和
π-α都要看成锐角.
诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。 诱导公式有六组，共54个。
公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等。
设α为任意锐角，角度制下的角的表示：
sin (α+k·360°)=sinα（k∈Z）. cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z）.
tan (α+k·360°)=tanα（k∈Z）. cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z）.
sec（α+k·360°）=secα （k∈Z）. csc（α+k·360°）=cscα （k∈Z）.
设α为任意角，弧度制下的角的表示：
sin（π+α）=-sinα. cos（π+α）=-cosα. tan（π+α）=tanα.
cot（π+α）=cotα. sec（π+α）=-secα. csc（π+α）=-cscα.
角度制下的角的表示：
sin（180°+α）=-sinα. cos（180°+α）=-cosα. tan（180°+α）=tanα.
cot（180°+α）=cotα. sec（180°+α）=-secα. csc（180°+α）=-cscα
公式二
π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。
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比如：sin390°=sin（360°+30°）=sin30°=1/2.
tan225°=tan（180°+45°）=tan45°=1.
cos150°=cos（90°+60°）=sin60°=√3/2.
规律：纵变横不变，正负看象限
诱导公式真正最大的作用，在于其为三角函数的性质打下了完美铺垫。诱导公式已经体现了三角函数包括周期性在内的一些性质，其最小正周期。包括你会在诱导公式中发现正弦函数就是奇函数这个事实，它已经被规定了。这才是它在数学上最大的作用。
