Question

求函数 y=x+√x(2-x) 的值域

拜托详细点

Answer 1

y=x+√x(2-x)
定义域0≤x≤2
y'=1+(1-x)/√x(2-x)
驻点：√x(2-x)=x-1
2x²-4x+1=0
x₀=(2+√2)/2
0≤x<x₀,y'>0,y单增，x₀<x≤2,y'<0,y单减
∴y(x₀)为极大值=(2+√2)/2+√(2+√2)/2·(2-√2))/2=√2+1
y(0)=0 y(2)=2
∴y∈[0,√2+1]

Answer 2

x(2-x)=2x-x²=1-(x-1)²,令x-1=sint,t∈[0,π/2],x=1+sint,y=1+sint+cost=1+√2sin(t+π/4)

追问

我用你的式子算出来最小值为2。但如果带入0的话值为0啊。

t应该属于［-π/2，π/2］吧。

追答

对

追问

定义域为［0，2］，x-1属于［-1，1］，对吧

追答

嗯