Question

(1/2)将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点重合、三角板的一边交CD于点F...

(1/2)将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点重合、三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G、问

Answer 1

（2011o临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．

　　（1）求证：EF=EG；

　　（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

　　（3）如图3，将（2）中的"正方形ABCD"改为"矩形ABCD"，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求 的值．

　　考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质。

　　分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；

　　（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；

　　（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

　　

解答：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，

　　∴∠DEF=∠GEB，

　　又∵ED=BE，

　　∴Rt△FED≌Rt△GEB，

　　∴EF=EG；

　　（2）成立．

　　证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，

　　则EH=EI，∠HEI=90°，

　　∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，

　　∴∠IEF=∠GEH，

　　∴Rt△FEI≌Rt△GEH，

　　∴EF=EG；

　　（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，

　　则∠MEN=90°，

　　∴EM∥AB，EN∥AD．

　　∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

　　∴ ， ，

　　∴ ，即 = ，

　　∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，

　　∴∠GEM=∠FEN，

　　∵∠GME=∠FNE=90°，

　　∴△GME∽△FNE，

　　∴ ，

　　∴ ．

　　点评：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．

Answer 2

详细解答，请看：
http://hi.baidu.com/%C4%E1%C4%E1%D0%DCteddy/blog/item/973a7e11dc05f31d203f2e8b.html

Answer 3

图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．

　　（1）求证：EF=EG；

　　（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

　　（3）如图3，将（2）中的"正方形ABCD"改为"矩形ABCD"，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求 的值．

　　考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质。

　　分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；

　　（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；

　　（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

　　

解答：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，

　　∴∠DEF=∠GEB，

　　又∵ED=BE，

　　∴Rt△FED≌Rt△GEB，

　　∴EF=EG；

　　（2）成立．

　　证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，

　　则EH=EI，∠HEI=90°，

　　∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，

　　∴∠IEF=∠GEH，

　　∴Rt△FEI≌Rt△GEH，

　　∴EF=EG；

　　（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，

　　则∠MEN=90°，

　　∴EM∥AB，EN∥AD．

　　∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

　　∴ ， ，

　　∴ ，即 = ，

　　∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，

　　∴∠GEM=∠FEN，

　　∵∠GME=∠FNE=90°，

　　∴△GME∽△FNE，

　　∴ ，

　　∴ ．

　　点评：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．

Answer 4

（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠GEB，
又∵ED=BE，∠D=∠EBG，
∴Rt△FED≌Rt△GEB，
∴EF=EG；
（2）解：成立．
证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，
∵ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，又EH⊥BC，EI⊥CD，
则EH=EI，∠HEI=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，
∴∠IEF=∠GEH，
∴Rt△FEI≌Rt△GEH，
∴EF=EG；

（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，
则∠MEN=90°，
∴EM∥AB，EN∥AD．
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴NE /AD =CE /CA ，EM/ AB =CE/ CA ，
∴NE /AD =EM/ AB ，即EN/ EM =AD/ AB =CB/ AB =b a ，
∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，
∴∠GEM=∠FEN，
∵∠GME=∠FNE=90°，
∴△GME∽△FNE，
∴EF /EG =EN/ EM ，
∴EF /EG =b /a ．

Answer 5

图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．

　　（1）求证：EF=EG；

　　（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

　　（3）如图3，将（2）中的"正方形ABCD"改为"矩形ABCD"，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求 的值．

　　考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质。

　　分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；

　　（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；

　　（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

　　

解答：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，

　　∴∠DEF=∠GEB，

　　又∵ED=BE，

　　∴Rt△FED≌Rt△GEB，

　　∴EF=EG；

　　（2）成立．

　　证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，

　　则EH=EI，∠HEI=90°，

　　∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，

　　∴∠IEF=∠GEH，

　　∴Rt△FEI≌Rt△GEH，

　　∴EF=EG；

　　（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，

　　则∠MEN=90°，

　　∴EM∥AB，EN∥AD．

　　∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

　　∴ ， ，

　　∴ ，即 = ，

　　∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，

　　∴∠GEM=∠FEN，

　　∵∠GME=∠FNE=90°，

　　∴△GME∽△FNE，

　　∴ ，

　　∴ ．

　　点评：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．

Answer 6

（1）证明：∵Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；（2）成立．证明：过点E分别作BC、CD的垂线，Rt△FEI≌Rt△GEH，∴EF=EG