Question

数学几何体

Answer 1

(1). ∵AD⊥平面APB, ∴AD⊥PB,∵AP⊥PB,
∴PB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PAD.
(2). ∵AD⊥平面APB,AD∥BC,
∴平面ABCD⊥平面PAB,
PD^2=AD^2+AP^2，PQ^2=PD^2-DQ^2，DQ^2=AD^2+AQ^2
AB=2，AQ=2X1/4=1/2，
PQ^2=AD^2+AP^2-AD^2-AQ^2=AP^2-AQ^2=1-(1/2)^2=3/4
AP^2-AQ^2=1-(1/2)^2=3/4=PQ^2，PQ⊥AB,
DQ与CQ的夹角即为二面角C-PQ-D的夹角。
过D点作线段DE⊥BC，交BC于E,则有DE=AB=2，CE=1/2BC=1
CD^2=DE^2+CE^2=2^2+1=5
DQ^2=AD^2+AQ^2=1+(1/2)^2=5/4，CQ^2=BC^2+BQ^2=2^2+(3/2)^2=25/4
COSα=(CQ^2+DQ^2-CD^2)/CQ.DQ=(25/4+5/4-5)/25/4.5/4=10/125=2/25
二面角C-PQ-D的余弦值为2/25

Answer 2

①∵AP⊥BC｛已知AD⊥平面APB，AD∥BC｝，AP⊥PB｛已知｝；
∴平面PAD⊥平面PBC｛平面垂直定义：平面内一直线垂直于另一平面内 相交二直线｝。
②∵假定PQ⊥AB，则PQ²＝AQ·BQ｛射影定理｝＝0.5×1.5＝0.75＝1－0.5²＝AP²－AQ²，
符合勾股定理；所以PQ⊥AB成立。PQ⊥QD，PQ⊥QC；∠CQD为所求二面角；
∵∠AQD＝arctan(1／0.5)＝63º26′, ∠BQC＝arctan（2／1.5）＝36º52′ ，
故∠CQD＝79º42′；
∴二面角C－PQ－D的余弦值＝cos79º42′＝0.1857 。